MATRIZ
Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenence.
El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimension de una matriz. Así, una matriz será de dimensión : 2x4, 3x2, 2x5,... Si la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3...
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.
Matriz Fila
Una matriz fila esta constituida por una sola fila.
Matriz Columna
La matriz columna tiene una sola columna
Matriz Rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión m x n.
Matriz Cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituye la diagonal principal
La diagonal secundaria la forma los elementos con i + j = n + 1
Matriz Nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
Matriz Triangular Superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal son ceros.
Matriz Triangular Inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
Matriz Diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
Matriz Escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
Matriz Identidad o Unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Matriz Traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz transpuesta de A, a la matriz que se obtiene intercambiando ordenamente las filas por las columnas.
Matriz Regular
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
Matriz Singular
Una matriz singular no tiene matriz inversa.
Matriz Idempotente
Una matriz, A, es idempotente si :
A2 = A
Matriz Involutiva
Una matriz, A, es involutiva si
A2 = I
Matriz Simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
Matriz Antisimétrica o Hemisimétrica
Una Matriz Antisimétrica o Hemisimétrica es una matriz cuadrada que verfica:
DIMENSIÓN DE UNA MATRIZ
El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimension de una matriz. Así, una matriz será de dimensión : 2x4, 3x2, 2x5,... Si la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3...
MATRICES IGUALES
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.
CLASIFICACIÓN DE LAS MATRICES
Matriz Fila
Una matriz fila esta constituida por una sola fila.
Matriz Columna
La matriz columna tiene una sola columna
Matriz Rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión m x n.
Matriz Cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituye la diagonal principal
La diagonal secundaria la forma los elementos con i + j = n + 1
Matriz Nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
Matriz Triangular Superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal son ceros.
Matriz Triangular Inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
Matriz Diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
Matriz Escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
Matriz Identidad o Unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Matriz Traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz transpuesta de A, a la matriz que se obtiene intercambiando ordenamente las filas por las columnas.
Matriz Regular
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
Matriz Singular
Una matriz singular no tiene matriz inversa.
Matriz Idempotente
Una matriz, A, es idempotente si :
A2 = A
Matriz Involutiva
Una matriz, A, es involutiva si
A2 = I
Matriz Simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
Matriz Antisimétrica o Hemisimétrica
Una Matriz Antisimétrica o Hemisimétrica es una matriz cuadrada que verfica:
A = -At
Matriz Ortogonal
Una matriz es ortogonal si verifica que:
A·At = I
OPERACIONES CON MATRICES
Suma y Resta de Matrices
Dados dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma A + B = (aij+bij).
La matriz suma se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.
Producto de un Escalar por una Matriz
Dada una matriz A = (aij) y un número real k
R, se define el producto de un número real por una matriz: la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.kA=(k * aij)
Producto de Matrices
Dos matrices A y B son multiplicables si el numero de columnas de A coincide con el numero de filas de B.
El elemento Cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumandolos.
Matriz Inversa
El producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz indentidad.
A · A-1 = A-1 · A = I
Calculo de la Matriz Inversa Por El Método de Gauss Jordan
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1 seguiremos los siguientes pasos:
1. Construir una matriz de tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz Identidad I en la derecha.
1. Construir una matriz de tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz Identidad I en la derecha.
Consideremos una matriz 3x3 arbitraria
La ampliamos con una matriz identidad de orden 3.
F2 - F1 F3 + F2
(-1) F2
La matriz inversa es:
